!APROXIMACION Y ERROR POR REDONDEO¡
Entender el concepto de ERROR es importante para usar de manera efectiva los métodos numéricos. Estos métodos numéricos son el corazón de la Unidad Curricular Cálculo Numérico, ya que la misma gira en torno al aprendizaje de los mismos para la formulación de problemas matemáticos. El análisis numérico estudia cómo un problema es resuelto numéricamente, parte de este proceso es considerar los errores que aparecen en estos cálculos, si son de redondeo o de otra fuente.
Aunque con la técnica numérica se puede obtener una aproximación a la solución exacta analítica, existe cierta discrepancia o error, debido a que los métodos numéricos son sólo una aproximación. Pocas veces, somos afortunados al disponer de la solución analítica y calcular el error en forma exacta. Pero para muchos problemas de aplicación no se puede obtener una solución analítica, por lo tanto no podremos calcular con exactitud los errores asociados con nuestros métodos numéricos. En esos casos debemos resolver por aproximación o estimar los errores. Pero ante este panorama vale la pena preguntarse ¿qué tanto error se presenta en los cálculos y qué tan tolerables es? Para ello es necesario estudiar la información referente a la cuantificación de errores; los errores más comunes: el de redondeo y el de truncamiento, entre otros.
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Definiciones de Error: los errores numéricos son aquellos que se generan con el uso de aproximaciones para representar las cantidades y operaciones matemáticas. Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos. La primera es el error de truncamiento y la segunda es el error de redondeo.
El error de truncamiento: se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo.
Los errores de redondeo: se asocian con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una computadora.
Cifras significativas: Son aquellas que llevan la información real a cerca del tamaño del número aparte de su porción exponencial. Aunque, por lo común, determinar las cifras significativas de un número es un procedimiento sencillo, en algunos casos genera cierta confusión. Por ejemplo, los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal.
Ejemplo:
Exactitud y Precisión: los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido con el valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Para poder disminuir los errores cometidos en las aproximaciones numéricas, es necesario aumentar tanto la exactitud como la precisión de manera simultánea para poder llegar a la solución requerida, es decir, se deben ir comparando las diferentes aproximaciones obtenidas entre sí y a la vez con la solución exacta del problema.
Para los dos tipos de errores antes mencionados, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dada por:
Valor verdadero (Vv) = Aproximación + Error
Reordenando la ecuación (1) se encuentra que el error verdadero o absoluto es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:
Ev = Vv – aproximación
Un defecto de esta definición es que no toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache que un puente. Una manera de medir magnitudes de las cantidades que se están evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en el error relativo.
Si este error se multiplica por el 100% se obtiene el porcentaje de Error relativo el cual se expresa como
(Aquí ER representa el % de error)
Para los métodos numéricos, el valor verdadero sólo se conocerá cuando se hable de funciones que pueden resolverse analíticamente.Por lo general éste no será el caso cuando se estudie el comportamiento teórico de una técnica en particular. Sin embargo, en muchas aplicaciones en ingeniería no es posible obtener soluciones analíticas; por lo tanto, no se puede calcular con exactitud los errores en nuestros métodos numéricos. En estos casos, debemos usar aproximaciones o estimaciones a los errores, siendo una alternativa, normalizar el error usando la mejor estimación posible del valor verdadero; esto es, para la aproximación misma como en
Donde el subíndice “a” significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Uno de los retos a que se enfrentan los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia del conocimiento de valores verdaderos. Por ejemplo, ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular resultados. En tales casos se hace una aproximación con base en la aproximación anterior. Este proceso se repite varias veces o de forma iterativa para calcular en forma sucesiva más y mejores aproximaciones. En tales casos el error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el porcentaje de error está dado por
En numerosos cálculos numéricos, es probable que un procedimiento se detenga cuando cierto valor tiene a cero (por ejemplo una diferencia en un problema de convergencia). Sin embargo es difícil obtener un valor exactamente nulo por los problemas de aproximación y de imprecisión en los cálculos. Para remediar esto se suele detener los procedimientos cuando el valor es sumamente pequeño. Este valor lo denotaremos como (epsilon).
Los signos de las ecuaciones (2) – (6) pueden ser positivos o negativos. A menudo cuando se realizan los cálculos pueden no importar mucho el signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que la tolerancia prefijada e. Por lo tanto, con frecuencia resulta útil emplear un valor absoluto en las ecuaciones (2) – (6). En tales casos los cálculos se repiten hasta que
|Ea| < E
Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable previamente fijado. Es conveniente relacionar también estos errores con el número de cifras significativas en la aproximación, se puede demostrar que
E = (0,5 x 102 –n)% (8)
Donde n es el número de cifras significativas. En este caso se tiene que la aproximación que se obtenga con un margen de error fijado por esta ecuación, será exacta en el número de cifras significativas con las que se ha calculado previamente dicha tolerancia.
NOTA:la letra E= Tolerancia.
REGLAS DE REDONDEO
- Si la cifra a eliminar es menor que cinco la última cifra a conservar se redondeará por defecto.
- Si la cifra a eliminar es mayor que cinco la última cifra a conservar se redondeará por exceso.
- Si la cifra a eliminar es igual que cinco seguido de cifras diferente de cero la última cifra a conservar se eliminará por esceso.
- Si la cifra a eliminar es igual a cinco sin cifras adicionales o seguido de cero se aplica la regla de par e impar.
REGLAS DEL PAR E IMPAR
REGLA PAR:
Si la cifra a eliminar es igual a cinco y la última cifra a conservar es par se redondeará por defecto.
12, 345 = 12,34
REGLA IMPAR:
Si la cifra a eliminar es igual a cinco y la última cifra a conservar es impar se redondeará por exceso.
12, 375 = 12,38
TERMINOS BASICOS :
1- REDONDEO POR DEFECTO:
Quiere decir que se va a conservar el valor de la cifra que se desee redondear.
2- REDONDEO POR EXCESO:
Se aproxima al inmediato superior la cifra que se desee redondear.
VIDEOS:
FUENTES:
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