METODOS PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES. U3-1

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones que 

involucran las mismas variables. Estas ecuaciones representan rectas (en 2D) o planos 
(en 3D), y su solución corresponde al punto o puntos en los que estas se cruzan. 
Resolver un sistema significa encontrar los valores de las variables que satisfacen 
simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Existen varios métodos para resolver estos sistemas, que se clasifican en dos grandes 

grupos:

• Métodos algebraicos o exactos, que permiten encontrar la solución de maneraprecisa usando operaciones matemáticas básicas.

• Métodos numéricos o aproximados, que se usan para sistemas grandes y complejos, especialmente cuando se aplican en computadoras o calculadoras.

1. Método de Sustitución

Pasos:

• Despejar una variable en una ecuación.
• Sustituir en la otra ecuación.
• Resolver.

x + y = 5

x - y = 1

x = 5 - y

→ (5 - y) - y = 1 → 5 - 2y = 1 → y = 2

→ x = 5 - 2 = 3

Solución: x = 3, y = 2

2. Método de Igualación

Pasos:

• Despejar la misma variable en ambas ecuaciones.
• Igualar.
• Resolver.

2x + y = 7  → y = 7 - 2x

x + 2y = 8  → y = (8 - x)/2

7 - 2x = (8 - x)/2

→ 14 - 4x = 8 - x → -3x = -6 → x = 2

→ y = 7 - 2(2) = 3

Solución: x = 2, y = 3

3. Método de Eliminación (Reducción)

Pasos:

• Igualar coeficientes.
• Sumar o restar.
• Resolver.

2x + y = 8

-2x + 3y = 4

→ Sumar: 4y = 12 → y = 3

→ Sustituir: 2x + 3 = 8 → x = 2.5

Solución: x = 2.5, y = 3

4. Método de Matrices (Regla de Cramer)

Ejemplo:

x + 2y = 5

3x - y = 4

|A| = (1)(-1) - (3)(2) = -1 - 6 = -7

|Dx| = (5)(-1) - (4)(2) = -5 - 8 = -13

|Dy| = (1)(4) - (3)(5) = 4 - 15 = -11

x = -13 / -7 ≈ 1.86
y = -11 / -7 ≈ 1.57

MÉTODOS NUMÉRICOS (APROXIMADOS)

Estos métodos no buscan una solución exacta, sino una aproximación progresiva, útil en sistemas grandes o cuando se aplican en programación.

5. Método de Gauss

• Se transforma la matriz del sistema en una forma escalonada.
• Luego se resuelve hacia atrás usando sustitución.

6. Gauss-Jordan

• Similar al anterior, pero se lleva la matriz a forma reducida (identidad).
• Permite obtener la solución directa sin sustitución regresiva.

7. Método de Jacobi

• Método iterativo.
• Se parte de valores iniciales y se mejora paso a paso.

8. Método de Gauss-Seidel

• Variante más eficiente del método de Jacobi.
• Usa los nuevos valores a medida que se calculan

¿Qué Método Usar?

Tamaño del sistema	Precision	Metodo derecomendacion
2 a 3 ecuaciones	Exacta	Sustitución, Igualación, Eliminación
3 a 10 ecuaciones	Exacta	Matrices, Gauss
Más de 10 ecuaciones	Aproximada	Jacobi, Gauss-Seidel

Conclusión

Aprendí que existen distintos métodos para resolver sistemas de ecuaciones, cada uno con 
ventajas según el tipo y tamaño del sistema. Los métodos algebraicos son ideales para 
sistemas pequeños y precisos, mientras que los numéricos se usan para sistemas más grandes 
o cuando se busca rapidez. Saber elegir el método adecuado es clave para resolver estos 
problemas de forma eficaz.

📖 Bibliografía

Problemas y Ecuaciones – Métodos de resolución

Explicaciones detalladas de los métodos de sustitución, igualación y reducción, con 

ejemplos resueltos paso a paso.

🔗 https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/sistemas/metodos-

resolucion-sistemas-sustitucion-igualacion-reduccion-ejemplos.html

Matemóvil – 3 Formas de resolver sistemas de ecuaciones

Una guía práctica que explica tres métodos principales para resolver sistemas de 

ecuaciones, acompañada de ejercicios resueltos.

🔗 https://matemovil.com/3-formas-de-resolver-sistemas-de-ecuaciones/

Mates Fácil – Métodos de sustitución, igualación y reducción

Ofrece ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones utilizando los tres métodos 

básicos, con explicaciones claras y concisas.

🔗 https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-sistemas-ecuaciones.html

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